COMO TRANSFORMAR UMA RAIZ QUADRADA OU CÚBICA EM UM CÁLCULO INFINITESIMAL PROGRESSIMAL DE GRACELI.

EXEMPLO.

SE TEM A RAIZ QUADRADA DE DE PROGRESSÃO [P] DE 1 A 10, OU TRO PROGRESSÃO QUALQUER.

CÁLCULO GRACELI INFINITESIML POR RAIZ OU EM LOGARITMO.

TIRAR A RAIZ DE CADA NÚMERO DA PROGRESSÃO DE 1 A 10 E O RESULTADO VAI DIVIDINDO UM PELO OUTRO.O MESMO COM LOGRITMO.

√ P [ 1 A 10] SE TEM RESULTADOS=

a, b,c, d, e, f, g .....

assim se tem a/b = w

w /c = k, assim sucessivamente.

depois ou integral ou somatiza,

O MESMO COM LOGARITMO.

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI. E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA , ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ DINÂMICAS, ⇔  Δ VALÊNCIAS, ⇔  Δ BANDAS,  Δ entropia e de entalpia,  E OUTROS.

x
$\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)$ [EQUAÇÃO DE DIRAC].

$\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})$ + FUNÇÃO TÉRMICA.

$N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}$ + FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

$T=e^{-2bL}$ , $b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}$

$\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}$ + ENTROPIA REVERSÍVEL

+   $\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}$ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

$E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx$ ENERGIA DE PLANCK

X

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..

DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia
[comprimento de onda (λ).
$\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$
onde c, velocidade da luz, é igual a $f\lambda$ .]
X
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
X
CATEGORIAS DE GRACELI
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

X
$\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ [ESTADO QUÂNTICO]

X
TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

ESPALHAMENTO EM MOVIMENTO BROWNIANO.

X
O coeficiente de espalhamento μ_s [cm^-1] descreve um meio que contém muitas partículas espalhadoras em uma concentração descrita por uma densidade volumétrica ρ [cm³]; o coeficiente de espalhamento é essencialmente a seção de choque σ_s por unidade de volume do meio.^[4]^[5]
$\mu _{s}=\left({\frac {\sigma _{s}}{\rho }}\right)$
O recíproco do coeficiente de espalhamento pode ser entendido como a distancia média que a partícula viaja antes de interagir com o meio, ou seja, ser espalhado.

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Movimento browniano de uma partícula num fluido. A partícula é apenas um ponto, do tamanho de todos os presentes na imagem, a área amarela serve para que se possa observar as setas - vetores aceleração - que são recebidos pela partícula em questão quando ela se choca com as outras partículas do fluido.
Movimento Browniano ou pedesis (em grego: πήδησις /pɛ̌ːdɛːsis/ "pulando") é o movimento aleatório das partículas suspensas em um fluido (líquido ou gás), resultante da sua colisão com átomos rápidos ou moléculas no gás ou líquido. O movimento Browniano é um dos mais simples processos da estocástica (ou probabilística) de tempo contínuo, e é um limite de ambos os processos mais simples e mais complicados estocásticos (veja passeio aleatório e teorema de Donsker). Esta universalidade está intimamente relacionada com a universalidade da distribuição normal. Em ambos os casos, é muitas vezes conveniência matemática, em vez da precisão dos modelos, que motiva a sua utilização.
O termo "movimento Browniano", nomeado em homenagem ao botânico Robert Brown, também pode se referir ao modelo matemático usado para descrever tais movimentos aleatórios, que muitas vezes é chamado de teoria da partícula.^[1] Este modelo tem inúmeras aplicações do mundo real. Por exemplo, flutuações do mercado de ações são frequentemente citados, embora Benoît Mandelbrot rejeitou sua aplicabilidade aos movimentos de preços de ações, em parte, porque estes são descontínuos.^[2]

X

Em física, uma relação de dispersão expressa a relação existente entre as frequências $f$ e o comprimentos de onda $\lambda$ , ou, de forma equivalente,^[1] entre as frequências $f$ e as velocidades $v$ , atrelada a entes físicos de natureza ondulatória (fases) propagando-se em um dado meio material ou mesmo no vácuo. Geralmente traduz-se mediante uma função ou um gráfico de frequência X comprimento de onda - ou de frequência x velocidade - e quase sempre mostra-se bem dependente do meio de propagação, caracterizando-o inclusive.

De forma similar mas não idêntica, um espectro discrimina a amplitude ou intensidade - o que traduz-se geralmente por quantidade de energia - das fases como função de suas respectivas frequências. Espectros e relações de dispersão encontram-se certamente relacionados, mas são por definição distintos.

Ótica

A relação de dispersão influi diretamente nas trajetórias de propagação de ondas quando há mudança do meio de propagação, visto que as relações de dispersão são geralmente diferentes nos diferentes meios de propagação e que as mudanças nas direções de propagação ocorrem justamente em virtude de mudanças nos comprimentos de onda quando ondas com uma dada frequência atravessam a interface entre os diferentes meios. A dependência destas variações nas direções de propagação com a as frequências ou comprimentos de onda explicam porque a luz branca é, através de um fenômeno ótico conhecido por refração, separada em suas várias cores (frequências) ao atravessar um prisma ou mesmo gotas de água. As relações de dispersão para a onda no ar e no vidro, ou no ar e na água são bem distintas: em ambos os casos as componentes das ondas são fisicamente separadas em função de suas frequências, cada qual sofrendo um maior ou menor desvio em sua trajetória ao mudarem de meio, o que dá origem por fim aos espectros e ao arco-iris.

A relação de dispersão é importante para entender como que a energia, o momento ou mesmo a matéria são transportados de um ponto a outro em qualquer meio. O interesse na relação de dispersão provavelmente começou com o interesse na dispersão de ondas na água, como por exemplo, demostrado por Pierre-Simon Laplace em 1776.^[2]

Mecânica

Em mecânica o termo relação de dispersão refere-se à relação - normalmente uma função - que estabelece a energia que um dado ente físico possui em função do momento que este transporta. Em partículas livres no domínio da física clássica - com massas de repouso não nulas e velocidades muito inferiores à da luz - a relação de dispersão é uma função quadrática do momento: $E={\frac {{\vec {P}}^{2}}{2m}}$ . Esta relação aparece de forma explícita no hamiltoniano para o sistema em questão e conduz à expressão para a energia cinética: $E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ ao considerar-se que ${\vec {P}}=m{\vec {V}}$ .

A relação acima vale no contexto da física clássica e para partículas completamente livres. Em situações mais específicas, como aquelas encontradas em física do estado sólido, a exemplo no estudo de elétrons confinados na estrutura dos cristais semicondutores, a relação de dispersão para as partículas - no caso os elétrons - pode mostrar-se dependente inclusive da direção de propagação das mesmos dentro do sistema. No caso do estudo dos cristais o momento para os elétrons dentro dos mesmos é definido de forma adequada à situação, sendo então denominado momento cristalino do elétron.

No âmbito da relatividade ou da mecânica quântica as expressões que definem o momento das partículas em estudo podem assumir formas também bem distintas da expressão clássica ${\vec {P}}=m{\vec {v}}$ , o mesmo ocorrendo para as expressões da energia, mas em qualquer caso a relação entre o momento e a energia - ou seja, a relação de dispersão - mostra-se igualmente importante, sendo geralmente o cerne de qualquer teoria que busque estabelecer a dinâmica de matéria, energia e momento nos sistemas físicos sob seu domínio.

Em qualquer teoria dinâmica a relação de dispersão mostra-se fundamental, e a partir da mesma é que se define outras grandezas geralmente importantes ao estudo, como a massa.

A associação do termo "relação de dispersão" com a relação existente entre energia e momento para os entes físicos com massa de repouso (partículas massivas) decorre diretamente dos princípios estabelecidos por De Broglie e Max Planck no âmbito da física quântica. De Broglie trouxe à luz o fato de que partículas massivas têm comportamento ondulatório, onde seus comprimento de onda encontram-se relacionados aos seus momentos, ao passo que, sob a mesma ótica, Plank mostrou que a energias associadas às partículas quânticas encontram-se relacionadas às frequências das ondas a elas associadas. Estabelecer uma relação entre energia e momento é assim estabelecer uma relação entre frequência e comprimento de onda, ou seja, estabelecer uma relação de dispersão, mesmo para o caso de partículas massivas.

Relações de dispersão para o vácuo

Fato curioso e de relevância na mecânica quântica é que, ao passo que o vácuo é um meio não dispersivo para ondas eletromagnéticas (as assim chamadas velocidades de fase são iguais à velocidade de grupo em um pulso eletromagnético - todos com velocidades iguais à "c", a velocidade da luz), o vácuo é um meio dispersivo para ondas de matéria (funções de onda), a velocidade de fase dependendo do momento segundo a relação ^[3]:

$V_{\phi }={\frac {\hbar k}{(2m)}}={\frac {p}{2m}}$ para partículas livres (ondas de matéria planas).

Repare que a velocidade (real) esperada para a partícula não é a velocidade de fase de uma onda plana de matéria (partícula livre), mas sim a velocidade de grupo das ondas que formam o pacote de ondas associado à partícula, a velocidade de grupo obedecendo relação bem mais similar à esperada classicamente:

$V_{g}={\frac {\hbar k}{m}}={\frac {p}{m}}$

onde $\hbar$ é a constante reduzida de Planck, p é o módulo do momento e k o número de onda atrelados à partícula em questão.

X

O movimento browniano é o movimento aleatório de partículas num fluido (líquido ou gás) como consequência dos choques entre todas as moléculas ou átomos presentes no fluido. O termo movimento browniano pode ser usado para se referir a uma grande diversidade de movimentos com partículas, com moléculas, e com ambos presentes em estados desde micro até macroscópicos em situações de organização caóticas, semi-caóticas, ou de proporções matemáticas, principalmente em casos de modelagem, todos estes na área denominada Física de partículas.^[1]
Esse fenômeno físico que é intrínseco à matéria e aos choques que ocorrem nos fluidos, também pode ser observado com macromoléculas, tendo por exemplo o momento que a luz incide em locais relativamente secos, permitindo que se veja macropartículas "flutuando" em suspensão no ar fazendo movimentos aleatórios. Vulgarmente confunde-se com poeira, entretanto deve-se notar que o ar (o fluido em questão) que pratica o movimento browniano e não as partículas (ou macromoléculas, neste caso poeira) que estão naquele.^[1]
Há um padrão pouco explícito em alguns casos deste movimento aleatório que o classifica como um movimento fractal, pois descreve um padrão dinâmico bem definido. Quem primeiro percebeu isso foi Benoît Mandelbrot, matemático francês.
Esse movimento está diretamente ligado com muitas reações em nível celular, como a difusão, a formação de proteínas, a síntese de ATP e o transporte intracelular de moléculas.
Hoje em dia, o movimento browniano serve de modelo na descrição de flutuações que ocorrem nos mais diversos e inesperados tipos de sistemas. Por exemplo, praticamente a mesma descrição e o mesmo tratamento matemático de Einstein podem ser adaptados para descrever flutuações de preços de mercadorias, a condutividade elétrica em metais e a ocorrência de cheias nos rios.^[3]
Físicos atualmente estudam tal movimento em relação à Teoria do Caos.

Breve História

O poema didático latino De rerum natura (Sobre a natureza das coisas), escrito por Tito Lucrécio Caro cita:
Os átomos movem-se num infinito vazio.
O universo é composto de átomos e vazio, nada mais.
Devido a sermos compostos de uma sopa de átomos em constante movimento[...].
As formas de vida neste mundo e nos outros estão em constante movimento, incrementando a potência de umas formas e diminuindo a de outras.
Os sentimentos percebem as colisões macroscópicas e interacções dos corpos[...]Albert Einstein.
Demonstrando algum conhecimento das sociedades antigas sobre como choques de partículas geram os vários fenômenos que são citados. É de se observar que na época em questão não havia aceitação e nem entendimento unânime sobre a existência de átomos e outros componentes da matéria. A disputa atômica começou com Demócrito e Anaxagoras. Os filósofos se opunham às teorias atômicas, distinguidos pela questão da gota d´água, por exemplo, que deve se dividir repetidamente sem limite, com cada subdivisão preservando as propriedades da original. A escola atômica de Demócrito defendia que as subdivisões não podiam continuar indefinidamente. A doutrina da homogeneidade seguida por Anaxagoras defende que a divisão da gota pode continuar sem término, porque o tamanho do corpo não reflete a natureza da substância.

Descoberta do Movimento Browniano

Em 1827, ao olhar através de um microscópio partículas encontradas em grãos de pólen na água,o biólogo Robert Brown observou que as partículas se moviam através da água, mas não foi capaz de determinar os mecanismos que causaram este movimento. Assim, foi o primeiro a observar cientificamente o movimento que achou se tratar de uma nova forma de vida, pois ainda não se tinha completa ciência da existência de moléculas, e as partículas pareciam descrever movimentos por vontade própria.
Jan Ingenhousz também fez algumas observações do movimento irregular de poeira de carbono em álcool em 1765. Porém, a primeira pessoa a descrever a matemática por trás do movimento Browniano foi Thorvald N. Thiele em 1880 em um artigo no método dos menores quadrados. Isto foi seguido independentemente por Louis Bachelier em 1900 em sua tese de PhD "A Teoria da Especulação".
Átomos e moléculas , posteriormente foram teorizados como os constituintes da matéria e, muitas décadas depois, Albert Einstein publicou um artigo em 1905 que explicava em detalhes precisos como o movimento que Brown tinha observado era o resultado do pólen sendo movido por moléculas de água individuais. Esta explicação deste fenômeno de transporte serviu como a confirmação definitiva de que átomos e moléculas realmente existem, e foi ainda verificada experimentalmente por Jean Baptiste Perrin, em 1908. Perrin foi agraciado com o Prêmio Nobel de Física em 1926 "por seu trabalho sobre a estrutura descontínua da matéria" (Einstein tinha recebido o prêmio cinco anos antes "por seus serviços à física teórica", com citação específica de uma pesquisa diferente). Sendo então que a direção da força de bombardeamento atômico está constantemente mudando, e em diferentes momentos da partícula é atingido mais de um lado do que o outro, levando à natureza aparentemente aleatória do movimento.

Exemplo animado de um movimento browniano segundo a modelagem matemática do Processo de Wiener confirmado pelo Teorema de Donsker.

Resultados físicos posteriores

Theodor Svedberg fez importantes demonstrações do movimento Browniano em colóides e Felix Ehrenhaft, em partículas de prata no ar.
Jean Perrin realizou experimentos para testar os novos modelos matemáticos e seus resultados publicados finalmente colocaram um fim na disputa de dois mil anos sobre a existência dos átomos e moléculas.E, por esses trabalhos, ele foi agraciado com o prêmio Nobel de Física de 1926.
Alguns anos depois do trabalho de Einstein, o matemático Norbert Wiener provou que a trajetória browniana tem comprimento infinito entre dois pontos quaisquer. O caminho traçado pela partícula é tão demorado que, se houvesse um tempo infinitamente longo, ela percorreria todo o plano, sem deixar de passar por nenhum ponto. Tecnicamente se diz que, contrariando as aparências, o caminho percorrido pela partícula browniana não é uma linha (com dimensão 1), mas é uma superfície (com dimensão 2)! E tem mais: Não pense que a trajetória da partícula browniana parece ser irregular porque o microscópio não tem um aumento suficiente para mostrar os detalhes da curva. Nada disso. Com um microscópio mais potente veríamos mais detalhes, realmente, mas a curva seria tão angulosa e irregular quanto antes^[4].

Outras Pesquisas

Outro francês, Louis Bachelier, em sua tese de doutoramento apresentada em 1900, cinco anos antes do artigo de Einstein, desenvolveu praticamente toda a teoria do movimento aleatório, obtendo expressões semelhantes às que seriam depois obtidas por Einstein. No entanto, Bachelier não descrevia um sistema físico, como partículas suspensas em água, mas as flutuações das ações de uma bolsa de valores. Por essa razão, seus resultados passaram inteiramente despercebidos pelo,s físicos da época. Hoje, sabe-se que o tratamento teórico dessas flutuações serve para explicar inúmeros fenômenos que ocorrem em áreas completamente distintas, como a física, a biologia, a economia e as ciências políticas. A observação aparentemente inocente de Robert Brown revelou-se muito mais importante do que parecia do que quando foi relatada pela primeira vez. ^[5]

Movimento Browniano na Física

A primeira teoria do Movimento Browniano na Física foi publicada por Einstein em sua tese de doutoramento no ano de 1905, publicada em "Annalen der Physik". Inicialmente, Einstein analisou as equações de Navier-Stokes para o escoamento de um fluido incompressível, obtendo:^[6]

                                                          $\eta *=\eta (1+\phi )$

Onde,

$\eta *$ = Viscosidade efetiva na presença de soluto;

$\eta$ = Viscosidade do solvente puro;

$\phi$ = Parte do volume total que é ocupada pelo soluto.

Assim, com base em grandezas conhecidas, como a massa molar e a densidade, tem - se que:

                                                         $\phi ={\frac {4}{3}}\pi (a^{3})((\rho N_{A})/m)$

Desse modo, as únicas incógnitas são o raio da partícula ( $a$ ) e o Número de Avogrado ( $N_{A}$ ). O cientista buscou ainda outro modo de relacionar $a$ e $N_{A}$ , obtendo um resultado matemático em que relaciona a difusão (D) com a temperatura e a viscosidade do fluido, de forma:^[7]

                                                           $D={\frac {RT}{6\pi .a.n.N_{A}}}$

Onde,

D = Coeficiente de Difusão

R = Constante universal dos gases

T = Temperatura Termodinâmica

$a$ = Raio das partículas

$\eta$ = Viscosidade do solvente puro

$N_{A}$ = Número de Avogadro

Por meio do Movimento Browniano, Einstein possibilitou a observação de flutuações de partículas que anteriormente possuíam desvio quadrático médio muito pequeno. A base de sua teoria é tida como a semelhança do comportamento de soluções e do comportamento de suspensões diluídas, onde existe uma relação do coeficiente de difusão com a viscosidade, somado à uma dedução probabilística da equação de difusão.^[7] Diante desses cálculos, foi elaborado para o Movimento Browniano o deslocamento quadrático médio na direção "x" e o tempo de observação "t", tal que:^[8]

                                                                $<x^{2}>=2Dt$

No caso tridimensional, devido a isotropia, temos que:

                                                       $<x^{2}>=<y^{2}>=<z^{2}>={\frac {1}{3}}<r^{2}>$

                                                                $<r^{2}>=6Dt$

Alguns anos após as descobertas de Einstein, em 1908, Paul Langevin, assim como outros cientistas, buscou a generalização das fórmulas já criadas. Assim, Langevin definiu que o Movimento Browniano de uma partícula que esteja fora de um campo de força conservativo pode ser escrito como uma equação diferencial, sendo:^[9]

                                                                ${\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!t}=-\eta v+\xi (t)$

Onde,

$\eta$ = Viscosidade do meio;

$v$ = Velocidade da particula;

$\xi (t)$ = Força aleatória.

Vale ressaltar que $\xi (t)$ é uma força que mantêm a agitação das partículas em suspensão, sendo atribuída a força gerada pelas moléculas do fluido nas partículas suspensas.

Langevin demonstrou que a variância da velocidade é dada por:

                                                          $<v^{2}>=(\Gamma /2\eta )(1-e^{-2\eta t})$

Onde,

$\Gamma$ = Constante a ser calculada;

$\eta$ = Viscosidade do meio;

$t$ = Tempo.

Desse modo, para tempo longos, a função exponencial tende a zero, assim:

                                                               $<v^{2}>={\frac {\Gamma }{2\eta }}$

Levando em conta fatores como a energia cinética média das partículas, Langevin demonstra que:

                                                               $\Gamma =\left({\frac {2\eta k_{B}T}{m}}\right)$

Onde,

$K_{B}$ = Constante de Boltzmann;

T = Temperatura do meio externo.

Dessa maneira, para tempos suficientemente longos, a teoria de Langevin é equivalente as propostas de Einstein sobre o Movimento Browniano.

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